열방정식 예제

함수 u (x , y, z, t) {displaystyle u (x, y, z,t)} 세 개의 공간 변수 (x, y, z) {displaystyle (x, y, z)} {displaystyle (x, y, z)} (카르테시안 좌표계 참조) 및 시간 변수 t {displaystyle t} , 열 방정식은 한 차원의 열 방정식입니다. , 확산계수 매니폴드에 대한 추상적 인 형태의 열 방정식은 Atiyah-Singer 인덱스 정리에 대한 주요 접근 방식을 제공하며 Riemannian 기하학의 열 방정식에 대한 훨씬 더 많은 작업을 주도했습니다. 부분 미분 방정식 또는 PDE는 여러 독립 변수에 대한 부분 미분화를 포함하는 방정식임을 기억합시다. PES 해결은 푸리에 시리즈의 주요 응용 프로그램이 될 것입니다. 이제 열 방정식의 2-D 및 3D 버전을 간략하게 살펴보겠습니다. 그러나, 우리가 그로 이동 하기 전에 우리는 먼저 표기법의 조금을 소개 해야. 이전 두 가지 문제에서 보았듯이 이전 장의 Eigenvalues 및 Eigenfunctions 섹션에서 이와 같은 경계 값 문제를 이미 해결했습니다. 따라서 여기에 무슨 일이 일어나고 있는지에 대한 좀 더 설명이 필요한 경우이 예제로 돌아가서 좀 더 설명을 볼 수 있습니다. 더 미묘한 결과는 최대 원칙입니다, 즉, 미디어의 모든 영역 R {displaystyle R}에서 {displaystyle u}의 최대 값은 R {displaystyle R}에서 이전에 발생 했던 최대 값을 초과 하지 않습니다., R의 경계에 없는 한 {디스플레이 스타일 R} .

즉, R {displaystyle R} 영역의 최대 온도는 R {displaystyle R} 외부에서 열이 들어오는 경우에만 증가할 수 있습니다. 이것은 포물선 부분 미분 방정식의 속성이며 수학적으로 증명하기어렵지 않습니다 (아래 참조). 여기서 T0은 구의 초기 온도이고 TS는 구의 표면에서 의 온도, 반경 L입니다. 이 방정식은 또한 생물 물리학에서 단백질 에너지 전달 및 열 모델링의 응용 을 발견했다. 이것은 첫 번째 부분과 거의 간단합니다. 중첩 의 원리에서 우리가 선형 동종 미분 방정식에 대한 두 가지 솔루션이있는 경우 (우리가 여기에있어) 다음 합계도 솔루션입니다. 따라서 첫 번째 부분에서와 마찬가지로 (n) 및 ({B_n})을 선택하여 초기 조건의 각 부분을 모두 합산한 다음 추가하는 솔루션을 얻으려면 이 작업을 수행해야 합니다.