초기하 분포 예제

안드레이 마르코프는 20세기 초에 마르코프 사슬을 연구했습니다. [1] 마르코프는 독립이 많은 수의 약한 법칙을 보유하는 데 필요하다고 주장하는 파벨 네크라소프와의 불일치로 인해 독립적인 무작위 시퀀스의 확장을 연구하는 데 관심이 있었다. [1] [41] 1906년에 출판된 마르코프 체인에 관한 첫 번째 논문에서 마르코프는 특정 조건에서 마르코프 체인의 평균 결과가 고정된 값 벡터로 수렴되어 독립가정 없이 많은 수의 약한 법칙을 증명하는 것으로 나타났습니다.[1] [12] [13] [14] 일반적으로 이러한 수학 법칙을 보유하는 요구 사항으로 간주되었다. [14] 마르코프는 나중에 마르코프 사슬을 사용하여 알렉산더 푸쉬킨이 쓴 유진 오네긴의 모음 분포를 연구하고, 이러한 체인에 대한 중앙 제한 정리를 입증했다. [1] [12] 마르코프 체인 중앙 제한 정리를 참조하십시오. 또한 Markov 체인에는 N x 1 행렬(벡터)으로 표시되는 초기 상태 벡터가 있으며, 이는 가능한 각 N 상태에서 시작하여의 확률 분포를 설명합니다. 벡터의 항목 I는 상태 I에서 시작되는 체인의 확률을 설명합니다. 오른쪽에서 P와 x를 곱하고 결과와 함께이 작업을 계속하면 결국 고정 분포 π를 얻습니다. 즉, π = UI ← xPP … P = xPk를 k → ∞로. 즉, 일부 스토카틱 행렬 P의 경우, 제한 림 k → ∞ P *표시 스타일 스크립트 스타일 lim {k에서 infty }mathbf {P} ^{k}} 존재하지 않는 반면, 이 예에서 볼 수 있듯이 이산 시간 임의 프로세스는 단계 간에 임의로 변경되는 상태와 함께 각 단계에서 특정 상태에 있는 시스템입니다.

[1] 단계는 종종 시간의 순간으로 생각되지만 물리적 거리 또는 기타 개별 측정을 똑같이 잘 참조할 수 있습니다. 공식적으로 단계는 정수 또는 자연 숫자이며 임의의 프로세스는 이러한 단계를 상태에 매핑하는 것입니다. [40] Markov 속성은 다음 단계에서 시스템의 조건부 확률 분포가 시스템의 현재 상태에만 달려 있으며 이전 단계의 시스템 상태에 추가적으로 의존하지 않는다고 명시하고 있습니다. 연속 시간 Markov 체인 (Xt)t ≥ 0은 유한 또는 카운트 가능한 상태 공간 S, 상태 공간에 정의된 상태 공간 및 초기 확률 분포와 동일한 차원의 전환 속도 매트릭스 Q에 의해 정의됩니다. i의 경우 , 요소 qij는 비음이며 상태 i에서 상태 j로의 프로세스 전환 속도를 설명합니다. 요소 qii는 전환 율 행렬의 각 행이 0으로 합산되고 (불연속) Markov 체인의 확률 전환 행렬의 행 합계가 모두 1과 같도록 선택됩니다. 수학적으로 시간 t의 상태를 감안할 때 시간 t+999에 대한 전환 행렬은 P^(999)입니다. 이 행렬의 모든 행은 동일하므로 확률 분포(x+y=1)를 곱하면 동일한 대답이 됩니다. 이 문제의 경우 이 “제한” 분포는 [0.5, 0.5]이므로 999시간 이후에는 A 상태50%, A에서 시작한 999시간 전에 는 999시간 전에 A에서 시작했음에 도 불구하고 50%가 상태 B에 있는지 확인합니다. 고정 분포는 1의 고유값에 해당하는 P의 좌측 고유 벡터입니다. P^t의 모든 행이 t-> inf로 수렴하면 P의 제한 분포라고 합니다. 이 예제에서는 마르코프 체인의 많은 주요 개념을 보여 줍니다.

Markov 체인은 기본적으로 Markov 속성을 충족하는 일부 확률 분포에 의해 결정되는 일련의 전환으로 구성됩니다. 돌이킬 수 없는 재발 CTMC에 대한 고정 분포는 프로세스가 t의 큰 값에 대해 수렴되는 확률 분포입니다.